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Theses Year : 2021

Stochastic and quantum dynamics of repulsive particles : from random matrix theory to trapped fermions

Dynamique stochastique et quantique de particules en interaction répulsive : des matrices aléatoires aux fermions piégés

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Abstract

This statistical physics thesis focuses on the study of three kinds of systems which display repulsive interactions: eigenvalues of random matrices, non-crossing random walks and trapped fermions. These systems share many links, which can be exhibited not only at the level of their static version, but also at the level of their dynamical version. We present a combined analysis of these systems, employing tools of random matrix theory and stochastic calculus as well as tools of quantum mechanics, in order to solve some original problems. Further from the detailed presentation of the field and the report of the results obtained during the PhD, the different themes exposed in the chapters of the thesis allow for perspectives on related issues. As such, the first chapter is an introduction to random matrix theory; we detail its historical evolution and numerous applications, and present its essential concepts, constructions and results. The second chapter discusses non-crossing random walks; we describe the deep links they share with random matrix eigenvalue processes and showcase the results obtained in the scope of boundary problems. In the third chapter, which focuses on stochastic matrix processes, we introduce in particular a process inspired from the Kesten random recursion, and highlight the new link it allows to draw between the inverse-Wishart ensemble and fermions trapped in the Morse potential. Lastly, the fourth chapter, centred on the particular case of bridge processes, allows for a joint treatment of scalar and matrix models; therein, we develop a generalization of the Ferrari-Spohn problem for non-crossing scalar bridges and, as an opening, we exhibit the connections of matrix bridges with other aspects of random matrices.
Cette thèse de physique statistique a pour objet l’étude de trois types de systèmes présentant une interaction répulsive : valeurs propres de matrices aléatoires, marches aléatoires conditionnées à ne pas se croiser et fermions piégés. Ces modèles présentent de nombreux liens, qui peuvent être établis non seulement au niveau de leur version statique, mais aussi au niveau de leur version dynamique. Nous en proposons une analyse combinée, en exploitant les outils probabilistes des matrices aléatoires et des processus stochastiques ainsi que les outils de la mécanique quantique, dans le but de résoudre certains problèmes originaux. Outre la présentation détaillée du domaine et le compte rendu des résultats obtenus durant le doctorat, les différents thèmes abordés dans les chapitres de la thèse permettent d’évoquer des perspectives sur des problèmes connexes. Ainsi, le premier chapitre est une introduction à la théorie des matrices aléatoires ; nous détaillons son évolution historique et ses nombreuses applications, et présentons en détail les concepts, constructions et résultats essentiels qui s’y rapportent. Le deuxième chapitre porte sur les marches aléatoires scalaires non-croisantes; nous décrivons leurs liens profonds avec les processus de valeurs propres de matrices aléatoires et exposons les résultats obtenus dans le cadre de problèmes de barrière. Dans le troisième chapitre, qui aborde les processus stochastiques matriciels, nous introduisons en particulier un modèle inspiré par la récurrence aléatoire de Kesten, et mettons en lumière le lien nouveau qu’il permet d’établir entre l'ensemble de Wishart inverse et les fermions soumis au potentiel de Morse. Enfin, le quatrième chapitre, centré sur le cas particulier des processus de ponts, permet de traiter conjointement les modèles scalaires et matriciels ; nous y présentons une généralisation du problème de Ferrari-Spohn pour des ponts scalaires non-croisants, et, en guise d’ouverture, les connexions des ponts matriciels avec d’autres aspects des matrices aléatoires.
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tel-03884840 , version 1 (05-12-2022)

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  • HAL Id : tel-03884840 , version 1

Cite

Tristan Gautié. Stochastic and quantum dynamics of repulsive particles : from random matrix theory to trapped fermions. Mathematical Physics [math-ph]. Université Paris sciences et lettres, 2021. English. ⟨NNT : 2021UPSLE034⟩. ⟨tel-03884840⟩
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